בשעה טובה, אני שמח לעדכן אתכם כי פרק 6, העוסק בחישוב עלות ההון המשוקללת, עלה לאוויר.
רוב רובו של הפרק מוקדש ליישום התיאוריה שעליה מבוססת עלות ההון המשוקללת, כלומר השילוב של מודל ה-CAPM עם מסקנותיהם של מודליאני ומילר. יחד עם זאת, אתם הרי יודעים עד כמה קשה לנו לוותר על סקירה תיאורטית של מתודולוגיות פרקטיות ולכן גם חובבי התיאוריה לא קופחו.
מקווים שתאהבו,
ערן, טל וניר.
לאחר שקיבלנו בפוסט הקודם מושג כללי אודות אופציות ריאליות, בפוסט זה, בכדי ליישר קו בין אלה שמכירים את התיאוריה שמאחורי חישוב שווי אופציות, ואלה שלא, אסקור את המודל המרכזי לחישוב שוויה של אופציה בעלת מאפיינים גמישים – המודל הבינומי. רק לאחר שנבין כיצד המודל הבינומי עובד נוכל להמשיך ולחשב את שווין של אופציות ריאליות.
אופציית רכש (Call) מאפשרת למחזיק בה את הזכות לרכוש נכס כלשהו, תמורת מחיר קבוע מראש, עד מועד קבוע מראש. בשפה המקצועית, הנכס נקרא "נכס הבסיס", המחיר הוא "תוספת המימוש" והמועד המדובר נקרא "מועד המימוש" (או הפקיעה). למחזיק באופציה ייווצר רווח כאשר מחיר הנכס גבוה מתוספת המימוש, והוא יהיה שווה להפרש ביניהם. נמחיש זאת באמצעות הדוגמא הבאה: נאמר שבידנו אופציית Call על מניה, בעלת תוספת מימוש בגובה 100 ש"ח. כאשר מחירה של המניה גבוה מ-100 ש"ח, נאמר 115 ש"ח, אנו יכולים לממש את האופציה ולמכור אותה בבורסה. "קניית" המניה ב-100 ש"ח ומכירתה תמורת 115 ש"ח יוצרת לנו תקבול (ערך) בגובה 15 ש"ח. מנגד, כאשר מחיר המניה נמוך מ-100 ש"ח לא נוצר לנו כל הפסד כיוון שאנו איננו מחויבים לממש את האופציה. ובצורה גרפית:
ישנם חמישה גורמים מרכזיים המשפיעים על שוויה של אופציית Call. סיכמנו אותם עבורכם בתרשים הבא (נכס הבסיס בו בשם "מניה" לשם הפשטות):
הרציונל שמאחורי החלוקה הוא הבא:
במציאות לא ניתן לשנות גורם אחד מהנזכרים מעלה תוך קיבוע של שאר הגורמים. למשל, עליה בשיעור הריבית אמנם מקטינה את הערך הנוכחי של תוספת המימוש הנדרשת (ובכך מגדילה את שווי האופציה), אך גם יכולה להקטין את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים הצפוי מהמניה, מקטינה בכך את שוויה (של המניה). ירידה בשווי המניה משפיעה באופן שלילי על שווי האופציה. לא ניתן לדעת מראש מהי התוצאה הסופית של שתי ההשפעות המנוגדות הללו.
מקבילתה של אופציית הרכש היא אופציית המכר (Put). היא מאפשרת למחזיק בה את הזכות למכור נכס כלשהו, תמורת מחיר קבוע מראש, עד מועד קבוע מראש. בהתאמה, למחזיק באופציה ייווצר רווח כאשר מחיר הנכס נמוך מתוספת המימוש, והוא יהיה שווה להפרש ביניהם. במספרי הדוגמא הקודמת: נאמר שבידנו אופציית Put על מניה, בעלת תוספת מימוש בגובה 100 ש"ח. כאשר מחירה של המניה נמוך מ-100 ש"ח, נאמר 80 ש"ח, אנו לקנות את המניה ולממש את האופציה. קניית המניה ב-80 ש"ח ומכירתה תמורת 100 ש"ח יוצרת לנו תקבול (ערך) בגובה 20 ש"ח. מנגד, כאשר מחיר המניה גבוה מ-100 ש"ח לא נוצר לנו כל הפסד כיוון שאנו איננו מחויבים לממש את האופציה. ובצורה גרפית:
המודל הבינומי הוצג לראשונה ע"י Cox, Ross & Rubinstein בשנת 1979 במאמרם הנודע: Option Pricing: A Simplified Approach.
הרציונל העומד מאחורי המודל הוא ששווי האופציה צריך להיות זהה לשוויו של תיק שיניב במועד הפקיעה תזרים זהה לזו שתניב האופציה. אם נצליח להרכיב תיק "חלופי" שכזה, ונצליח לחשב את שוויו כיום – זה גם צריך להיות מחיר האופציה.
המודל הבינומי, כפי שרומז שמו, אינו משאיר טווח רציף של ערכים אפשריים לשוויו של נכס הבסיס במועד הפקיעה של האופציה. במקום זאת, הוא מניח כי קיימים שני מצבי טבע אפשריים בלבד – כלומר מחיר נכס הבסיס יכול להיות אחד מבין שני ערכים, למשל 115 או 90. לאחר שידועים לנו שתי התוצאות האפשריות, עלינו לתמחר את שווי האופציה כיום. האם חשוב לנו מהי ההסתברות להתרחשותו של כל מצב טבע? באופן מפתיע, התשובה היא לא ואנו נראה זאת כעת.
ניקח למשל אופציית רכש בעלת תוספת מימוש של 100 ש"ח הפוקעת בעוד שנה. כמו-כן, נקבע כי מחירו של נכס הבסיס עומד כיום על 100 ש"ח (כלומר האופציה נמצאת "בכסף") ואנו צופים כי במועד הפקיעה הוא יהיה 115 ש"ח או 90 ש"ח. כפי שניתן לראות, מצב הטבע הראשון הוא חיובי, כלומר יביא עלייה במחיר הנכס, ומצב הטבע השני הוא שלילי.
מה יהיה אם כן שוויה של אופציית הרכש בעוד שנה מהיום?
ובצורה גרפית:
כעת, נרצה לבנות אסטרטגיה בה מכירה של אופציית רכש אחת וקניית נתח מסוים מנכס הבסיס תבטיח לנו תקבול ודאי במועד הפקיעה. לשם כך נגדיר פרמטר בשם "דלתא"[1] שיחושב כהפרש בין שווי האופציה בשני מצבי הטבע לבין שווי נכס הבסיס בשני מצבי הטבע. ובמספרים:
\[\Delta=\frac{15-0}{115-90}=0.6\]
אם נקנה 0.6 יחידות של נכס הבסיס עבור כל אופציית רכש אחת שנמכור מובטח לנו תקבול ודאי במועד הפקיעה. כדי להוכיח זאת (ולמצוא את גובה התקבול), נבדוק מה יהיה שווי האסטרטגיה במועד הפקיעה תחת שני מצבי הטבע האפשריים:
כלומר, מכירת אופציית רכש אחת וקניית 0.6 יחידות של נכס הבסיס תבטיח לנו שווי אחזקות של 54 ש"ח בעוד שנה אחת, ללא תלות בשום גורם! ערכה הנוכחי של שווי האחזקה חייב להיות שווה למחירה של האסטרטגיה הזו כיום, ומכיוון שמדובר בתזרים ודאי, נוכל להוון את תוחלתו באמצעות שיעור הריבית על נכס חסר סיכון. אם נניח כי הריבית הממשלתית עומדת על 8%, נוכל לומר כי:
\[\frac{54}{1.08}=\Delta\times S_0-C \Rightarrow C=0.6\times 100- \frac{54}{1.08} = 10\]
מחירה כיום של אופציית הרכש המדוברת חייב להיות 10 ש"ח, וזאת ללא קשר לגובה ההסתברות למצבי הטבע השונים. אסטרטגיית הגידור המושלמת שבנינו מייתרת את הצורך לדעת מהי ההסתברות לכל מצב טבע מאחר ואנו צפויים לקבל בכל מקרה את התקבול הוודאי שמצאנו.
ישנה ווריאציה נוספת לשיטת הפתרון הזו, אשר יוצרת את תזרים המזומנים הוודאי בסוף התקופה על ידי תמהיל של נכס הבסיס ואגרת חוב חסרת סיכון אך היא איננה מוסיפה תובנות חדשות בנושא ולכן בחרנו שלא להציג אותה.
ניתן גם לפתור את המודל הבינומי בשיטה נוספת המשתמשת ביחס הקרוי הסתברות מותאמת לסיכון, או באנגלית: Risk-Neutral Probability. ההסתברות הזו היא ההסתברות לתרחיש החיובי בעולם אדיש לסיכון והשימוש בה מאפשר לנו להוון את תוחלת הרווח מהאופציה באמצעות שיעור התשואה שידרוש משקיע אדיש לסיכון – שיעור התשואה על נכס חסר סיכון.
נסביר את כוונתנו באמצעות דוגמה שמשתמשת בנתוני הדוגמה הקודמת. ראשית, נרצה לחשב את ההסתברות המותאמת לסיכון ונסמן אותה מעתה ואילך באות p. [2]תוחלת התשואה שיחווה משקיע אדיש לסיכון היא שקלול ההסתברויות והתקבול שיקבל בשני מצבי הטבע האפשריים, חיובי ושלילי:
\[1+r_f=p\times u + (1-p)\times d\]
כאשר:
p – ההסתברות המותאמת לסיכון למצב טבע חיובי,
u – שווי נכס הבסיס, ביחס למצב המקורי, שישרור במועד הפקיעה תחת התרחיש החיובי,
d – שווי נכס הבסיס, ביחס למצב המקורי, שישרור במועד הפקיעה תחת התרחיש השלילי,
\(r_f\)- שיעור הריבית שמניב נכס חסר סיכון.
לאחר מספר פעולות חשבוניות פשוטות, מתקבלת הנוסחה המוכרת יותר לחישוב ההסתברות המותאמת לסיכון, p:
\[p=\frac{(1+r_f)-d}{u-d}\]
לרוב נהוג לסמן את הגודל \((1+r_f)\) באות R כך שהנוסחה המוכרת הינה:
\[p=\frac{R-d}{u-d}\]
מהי ההסתברות p במספרי הדוגמה הקודמת?
\[p=\frac{1.08-0.9}{1.15-0.9}=0.72\]
כעת, נרצה לחשב את שוויה הנוכחי של אופציית ה-Call ממש כפי שאנו מחשבים את הערך הנוכחי של הגרלה שצפויה להיערך בעוד תקופה: כממוצע משוקלל של התוצאות האפשרויות השונות, מהוונות להיום באמצעות שיעור היוון מתאים. שווי האופציה יהיה לכן:
\[C=\frac{p\times C_{up}+(1-p)\times C_{down}}{1+r_f}=\frac{0.72\times 15+0.28\times 0}{1.08}=10\]
בניגוד לשיטת היוון תזרים מזומנים, שם ההתייחסות לסיכון של הפרויקט נעשית באמצעות שיעור ההיוון (למשל, סיכון גבוה מביא לשיעור היוון גבוה), שיטת ההסתברות המותאמת לסיכון מגלמת את סיכון הפרויקט בתוך ההסתברויות שמשוקללות במחיר האופציה. התוצאה שהתקבלה זהה כמובן לתוצאה שהניבה השיטה הקודמת לפתירת המודל הבינומי, שיטת ה-Replicating Portfolio.
כפי שניווכח בהמשך, יתרונו הגדול של המודל הבינומי נעוץ בגמישותו הרבה. חסרונו נעוץ כמובן בעובדה שהוא מתיר טווח אפשרויות בדיד לשוויו האפשרי של נכס הבסיס. במקרה וחשובה לנו הרציפות במחירים האפשריים של הנכס, אנו נפנה אל המודל המוכר והידוע – מודל Black & Scholes.
השיטה הראשונה שסקרנו, שיטת ה-Replicating Portfolio, מנחה אותנו ליצור תיק דומה במאפייניו לאופציה שאנו רוצים להעריך את שוויה, ועל סמך טיעון הארביטראז' המפורסם למצוא את שוויה של האופציה. כמו-כן, הזכרנו כי ניתן לבנות את התיק החלופי המדובר בשתי דרכים, האחת – קנייה ומכירה של נכס הבסיס והאופציה, והשנייה – קנייה ומכירה של נכס הבסיס ואגרת חוב ממשלתית. לא משנה באיזה דרך נבחר, טיעון הארביטראז' תקף רק כאשר הנכסים הנדרשים לביצוע האסטרטגיה נסחרים בשוק. אם לא, לא נורא – ההסתברות המותאמת לסיכון נחלצת לעזרתנו, כאשר כאן הנחת היסוד היא שלבעלי המניות של החברה ישנה גישה לנכס "כפיל" בעל פרופיל סיכון זהה (כלומר בעל אותה ביטא) לפרופיל הסיכון של נכס הבסיס עליו נכתבה האופציה.
כלומר, לא משנה באיזה שיטה נבחר, שווי האופציה שיתקבל הוא שוויה אילו הייתה נסחרת, ממש כפי שאנחנו מעריכים את שוויו של פרויקט רגיל באמצעות שיטת ה-DCF – הרי גם בה אנו מהוונים את התקבולים מפרויקט באמצעות שיעור הריבית שאנחנו יכולים להרוויח על פרויקטים זהים לו. הנחת היסוד הזו היא שקושרת בין שיטת ה-DCF ושיטת ההערכה של אופציות.
בפוסטים הבאים אסקור לעומק את הדרכים השונות להערכת שווין של אופציות ריאליות – כולן נסמכות על היסודות התיאורטיים שהנחנו בפוסט זה.
[1] לאלו מכם שמכירים את מודל Black & Scholes, זוהי אותה דלתא.
[2] ישנם ספרי מימון שמסמנים את ההסתברות באות q – אין אחידות בנושא הזה.
"אין לך מתת גדול מן הכוח להעריך דברים לפי שוויים האמיתי" -פרנסואה דה לה רושפוקו
רבים מתעניינים בפענוח שם הקוד הערכת שווי חברות. בפרט, הם מתעניינים בשאלה כיצד מבצעים הערכת שווי ומהן ההנחות בבסיסה. לפני מספר שנים, כאשר ישבנו לדבר על הנושא, סקרנו את הספרות הרבה באנגלית והדלה בעברית, ולהפתעתנו, לא ממש הצלחנו למצוא מקום אחד ידידותי שיסביר את הדברים בצורה טובה. כלומר, היו ספרים די טובים שדיברו על תזרימי מזומנים, על ביטאות, על שיעורי היוון ועל מכפילים, והיו גם אתרים שעסקו בנושא, אך לא מצאנו מקום אחד שיסביר לנו את הדברים בגובה העיניים מבלי לוותר על עומקם של ההסברים (או כמו שאיינשטיין אמר : "Everything should be made as simple as possible, but no simpler"). בסוף, אם דאגתם, הסתדרנו איכשהו, אבל זה לא אומר שגם אתם צריכים לעבוד כל כך קשה…
אז למה אנחנו מתכוונים כשאנחנו אומרים הערכת שווי חברות? במרבית המקרים, הכוונה היא מציאת שוויו הכלכלי של הונה העצמי של חברה (הריבוע השמאלי התחתון, הצבוע באפור בהיר), באמצעות מגוון שיטות שאמורות בסוף להביא לאותה תוצאה. בערך. מהסתכלות ראשונית באיור ניתן להיווכח שלמעשה, הערכת שווי חברות די דומה לחישוב עם בדידים שהיינו עושים בבית הספר היסודי.
אז איך עושים את זה? ככלל, יש שתי דרכים מרכזיות להגיע לשווי המניות, וכאשר הן משתמשות באותו סט הנחות, שתיהן אמורות להניב את אותו שווי.
נניח את ההנחות הבאות:
כאמור, נרצה לצאת משווי הפעילות לשווי ההון העצמי, באופן הבא:
שווי החברה הכולל הוא סך שווים ההוגן של כל הנכסים שברשותה, למעט נכסים פיננסים. בדוגמה שלנו, שווי החברה הכולל הוא 130 ש"ח: \(100+30=130\). שימו לב שלא השתמשנו בשווי המבנה כפי שהוא מוצג בספרי החברה אלא בשווי השוק שלו.
החוב הפיננסי נטו של החברה הוא 20 ש"ח: \(40-20=20\).
שוויו ההוגן של ההון העצמי הוא שווי החברה בניכוי החוב הפיננסי נטו שלה – 110 ש"ח: \(130-20=110\)
אם החברה הנפיקה 10 מניות (כמה נוח…), השווי שמצאנו למניה בודדת הוא 11 ש"ח: \(\frac{110}{10}=11\).
על אף ששתי הדרכים שמנינו בתחילת הפוסט אמורות להביא לאותה התוצאה, חילוץ שווי ההון העצמי מתוך שווי הפעילות שם זרקור על זיהוי הפרמטרים שחשובים ליצירת ערך עבור העסק של החברה, ולכן נחשב לדרך עדיפה בעיני מרבית העוסקים בפרקטיקה. השיטה המרכזית לחישוב שווי הפעילות, היוון תזרים המזומנים, מהווה את מרכזו של ספר זה ואנו סוקרים אותה לעומק בפרקים 3-6.
כזכור לנו, השווי הטרמינלי הוא הערך הנוכחי של תזרים המזומנים החופשי מסוף התחזית הפרטנית ועד לאינסוף, כאשר במרבית המקרים חלק גדול משווי הפעילות הכולל שמתקבל טמון באותו שווי טרמינלי. אם נחשב את השווי הטרמינלי תוך הנחה של שיעור צמיחה קבוע, חוקי המתמטיקה של הסדרות ההנדסיות יניבו לנו את הערך הנוכחי של סדרת התזרימים המדוברת:
\[\text{Terminal Value}_n=\frac{FCFF_{n+1}}{WACC-g_{ss}}\]
מכיוון שתזרים המזומנים החופשי הוא מה שנשאר מהרווח התפעולי לאחר מס (NOPLAT) לאחר ביצוע ההשקעה בקפיטל, ניתן גם לכתוב את המשוואה בצורה הבאה:
\[\text{Terminal Value}_n=\frac{NOPLAT_{n+1}\times(1-R_{ss})}{WACC-g_{ss}}\]
כאשר RRss הוא שיעור ההשקעה שיידרש מהחברה בטווח הארוך (כפי שהראנו בפוסט הקודם).
מעריך שווי שיבחר לחזות את תזרים המזומנים התפעולי בשנה המייצגת ישירות מתוך תזרים המזומנים של השנה הקודמת תוך התחשבות בשיעור הצמיחה החדש, יקבל שווי טרמינלי מוטה כלפי מטה. מדוע?
המשוואה בה מעריך השווי ישתמש היא המשוואה הבאה:
\[FCFF_{n+1}=FCFF_n\times(1+g_{ss})\]
ההנחה הגלומה בשימוש במשוואה זו הינה ששיעור ההשקעה בטווח התחזית זהה לשיעור ההשקעה בטווח הארוך. במקרים בהם הצמיחה בטווח הארוך נמוכה מזו של הטווח הקצר הדבר יוביל לשיעור השקעה גבוה מדי ולכן לתזרים חופשי נמוך מדי.
דוגמה קצרה לפני סיום: נאמר שהטווח הקצר שקבענו הוא 5 שנים ועלינו לחזות את תזרים המזומנים הצפוי לחברה בשנה השישית. הרווח התפעולי לאחר מס בשנה הרביעית והחמישית הוא 100 ו-110, בהתאמה. בנוסף נניח, כי בטווח התחזית ההשקעות הנדרשות בכדי לייצר צמיחה גבוהה הינן 50% בעוד שההשקעות הנדרשות מהשנה המייצגת לאינסוף הינן 33%. להלן תמצית הנתונים:
| טווח קצר | טווח ארוך | |
|---|---|---|
| שיעור צמיחה | 10% | 5% |
| ROC | 20% | 15% |
אנו נציג שתי תחזיות עבור השנה השישית, אחת נכונה ואחת מוטעית:
| שנה 4 | שנה 5 | שנה 6 (מוטעה) | שנה 6 (נכון) | שנה 7 (נכון) | |
|---|---|---|---|---|---|
| רווח תפעולי לאחר מס | 100 | 110 | 115.5 | 115.5 | 121.27 |
| שיעור השקעות | 50% | 50% | 50% | 33% | 33% |
| השקעות | (50) | (55) | (57.75) | (38.5) | (40.43) |
| תזרים מזומנים מפעילות | 50 | 55 | 57.75 | 77 | 80.85 |
מכיוון שהרווח התפעולי לאחר מס הוא קבוע, קביעת תזרים המזומנים רק על סמך הצמיחה הקבועה (55*1.05=57.75) גורמת לנו לחזות סך השקעות של 57.75 ש"ח – גובה השקעה זו גבוה מדי מכדי "לתמוך" בצמיחה החזויה לטווח הארוך, שהיא נמוכה מזו של הטווח הקצר. שיעור ההשקעות הנדרש הוא הבא (כאמור, לפי המתודולוגיה שנסקרה בפוסט הקודם):
\[RR_{ss}=\frac{g_{ss}}{RONIC_{ss}}=\frac{5\text{%}}{15\text{%}}=33\text{%}\]
בטווח הארוך אנו חוזים שיעור צמיחה נמוך יותר מזה של הטווח הקצר ולכן גם נדרשים להשקיע פחות על-מנת לשמר אותו. מאחר ותזרים המזומנים הוא שארית של הרווח התפעולי לאחר מס לאחר שהפחתנו ממנו את ההשקעות, אנו מקבלים "קפיצה" בתזרים המזומנים בשנת המעבר (שנה 6) כאשר לאחר מכן שיעור הצמיחה בו יחזור להיות כמצופה (5% במקרה שלנו): 77*1.05=80.85. אם לא ננהג כך, השווי הטרמינלי של החברה יהיה מוטה כלפי מטה ללא כל הצדקה.
© כל הזכויות שמורות