אלטרנטיבות למודל ה-CAPM: מודל ה-APT

/4 תגובות/קטגוריה: /מאת:

לא מעט אלטרנטיבות למודל ה-CAPM הוצגו במרוצת השנים, רובן מוסיפות את ההתחשבות בגורמים נוספים שמשפיעים על קבלת ההחלטות של משקיעים, כמו מסים או הכנסה עתידית; בין הבולטים שבהם היה זה של Black (1972), בו הוא פיתח גרסה ל-CAPM שבה שיעור הריבית ללווים ולמלווים לא חייב להיות שווה לריבית חסרת סיכון (Black’s Zero-Beta CAPM),[1] וזה של Merton (1973), בו המשקיעים משקללים בהערכות שלהם לא רק את התקבולים שיישארו בידיהם בסוף התקופה, אלא גם את הזדמנויות ההשקעה והצריכה שצפויות להתקיים בסופה. מודל זה היה ידוע בכינוי ICAPM – Intertemporal CAPM.[2]

עם כל הכבוד למודלים האלטרנטיביים שהוצעו, אין ספק כי האלטרנטיבה הבולטת ביותר הינה מודל ה-APT (Arbitrage Pricing Theory), שפורסם על ידי Stephen Ross בשנת 1976.[3] בקצרה, מודל ה-APT מתבסס על הנחת היעדר הזדמנויות ארביטראז', כלומר שלא ייתכנו שני נכסים זהים הנסחרים במחירים שונים, ותוך שימוש בהרבה פחות הנחות ממודל ה-CAPM הוא מנבא את תוחלת התשואה שיניב נכס i באמצעות המשוואה הבאה:

\[R_i=a_i+b_{i1}I_1+b_{i2}I_2+\dotsc+b_{ij}I_j+e_i\]

כאשר:

Ij – הפקטור ה-j שמשפיע על התשואה של נכס i,

bij – מידת הרגישות של התשואה של נכס i לפקטור j,

ai – התשואה המצופה מנכס i כאשר שאר הפקטורים שווים לאפס,

ei – ההפרעה האקראית.

החיסרון המרכזי של המודל הוא שהוא נותן את המסגרת הכללית לקביעת תוחלת התשואה המצופה, מבלי לנקוב בפקטורים שאמורים לסייע במלאכה. כך, החל לו מסע אקדמי בעקבות הפקטורים הנעלמים שאמורים להכניע את מודל ה-CAPM הישן והטוב, ואנו נציין את שני המחקרים הבולטים בנושא.

Chen, Roll & Ross מתחילים בניתוח של הגורמים המשפיעים על תשואתה של מניה, ומחלקים אותם לשני סוגים: הסוג הראשון כולל בתוכו פקטורים המשפיעים על תזרימי המזומנים הצפויים מהמניה, והסוג השני כולל פקטורים המשפיעים על ערכם הנוכחי של תזרימי המזומנים הללו.[4] הם עושים שימוש במתודולוגיה של Fama & McBeth ומוצאים כי ארבעת הפקטורים המקרו-כלכליים שבהם השתמשו (אינפלציה, עקום הריבית, פרמיית הסיכון של אגרות חוב מסוכנות ורמת הייצור התעשייתי) הם בעלי יכולת הסבר מובהקת לתשואותן של מניות. יתרה מכך, כאשר רגרסיית השלב השני לקחה בחשבון גם את הביטא הקלאסית, השפעתה של האחרונה התגלתה כלא מובהקת. Chen, Roll & Ross נמנעים מלהצהיר במפורש כי גילו את הפקטורים המשפיעים על תוחלת התשואה של מניות, אך מכירים בצעד הגדול שביצעו לעבר המטרה הזו.

גישה אחרת למציאתם של הפקטורים הנעלמים היא להשתמש בפקטורים המזכירים במהותם את פרמיית הסיכון הקלאסית ממודל ה-CAPM, ומייצגים בצורה טובה את הגורמים המשפיעים על תשואת המניה שפרמיית הסיכון הקלאסית לא מצליחה. הניסיון המפורסם ביותר מהסוג הזה הוא ניסיונם של Fama & French (1993), בו הם מוסיפים לפרמיית הסיכון הקלאסית שני פקטורים נוספים, התשואה העודפת שהשיגו תיקים מבוזרים של מניות קטנות על פני תיקים מבוזרים של מניות גדולות (Small Minus Big) והתשואה העודפת שהשיגו תיקים מבוזרים, המורכבים ממניות בעלות שווי גבוה יותר של הון עצמי בספרים ביחס לשווי שוק (זהו למעשה מכפיל הון הפוך), על פני תיקים מבוזרים המורכבים ממניות בעלות שווי נמוך יותר של הון עצמי בספרים ביחס לשווי שוק (High Minus Low).[5] כלומר, המודל שהם מציעים הוא מודל הכולל בתוכו שלוש ביטאות, באופן הבא:[6]

\[E(R_i)=r_f+\beta_{iM}\left[E(R_M)-r_f\right]+\beta_{iS}E(SMB)+\beta_{iH}E(HML)\]

Fama & French מצאו, כמובן, שלמודל שלהם יכולת חיזוי טובה יותר מהיכולת של מודל ה-CAPM, אך לא כולם קיבלו את התוצאות בהכנעה. הביקורת הידועה ביותר על מאמרם הינה שהבחירה בפקטורים הספציפיים הללו מבוססת על העובדה שאלו הם הפקטורים בעלי המתאם הסטטיסטי הכי חזק לתשואת המניות, ללא כל ביסוס תיאורטי מוצק מאחורי הבחירה הזו (הכינוי לכך בעגה המקצועית הוא Data Snooping). בנוסף לכך, ישנה השקפה שמקורה בכלכלה התנהגותית, לפיה משקיעים נוהגים בהתאם למודל ה-CAPM, אך אי-רציונאליות בקביעת המחירים מביאה לכך שמודל ה-CAPM מופר במציאות; בהמשך לכך, הפקטורים שהוסיפו Fama & French מתואמים עם אי-הרציונאליות הזו ולכן אנו מקבלים שלמודל שלהם יכולת הסבר טובה מזו של ה-CAPM בצורתו הקלאסית. במילים אחרות, Fama & French טוענים שהפקטורים הנוספים "תופסים" סיכון שה-CAPM לא מצליח לתפוס, והכלכלנים ההתנהגותיים סבורים כי הם תופסים את אי-הרציונאליות של המשקיעים. מבחינה תיאורטית, זוהי בעיה די חמורה, מכיוון שלא ברור האם הבעיה ב-CAPM היא בהנחת הרציונאליות של המשקיעים (כפי שסבורים הכלכלנים ההתנהגותיים) או בהנחות אחרות שעליהן הוא מתבסס (כפי שסבורים Fama & French). מבחינה פרקטית, מקור הבעיה פחות חשוב, והדגש הוא על פתרונה; לכן, כל עוד ממצאיהם של Fama & French הם אינם תוצאה של Data Snooping, ניתן להשתמש במודל שלהם לצורך חיזוי מחיר ההון העצמי. מבחנים שבדקו את ביצועיו של המודל של Fama & French בשווקים אחרים מאמתים את יכולותיו, ולכן נראה כי לפחות הבסיס האמפירי שלו נותר איתן. בהקשר זה, ראוי גם לציין גם את המודל של Cahart (1997), שבו נכלל פקטור רביעי, האמור לייצג את אפקט המומנטום.[7] אפקט המומנטום, אותו זיהו Jegadeesh & Titman (1993), הוא כינוי למצב שבו מניה ש"ניצחה את השוק" בשנה מסוימת, תמשיך להציג ביצועים טובים גם בחודשים העוקבים, ולהיפך עבור מניות ש"השוק ניצח אותן".[8] למרות שהמודל של Cahart מניב תוצאות עדיפות על פני זה של Fama & French, נראה כי אורך החיים הקצר של אפקט המומנטום מונע מהמודל להיות כלי עזר ממשי לצורך אמידת מחיר ההון העצמי בהערכות שווי.

אנו נסכם ונאמר כי למרות חולשתו התיאורטית, קשה להתעלם מיכולת הניבוי החזקה של המודל של Fama & French, ולכן אין זה מפתיע שהוא נמצא בשימוש תדיר אצל העוסקים בפרקטיקה בישראל ובעולם.

 

על הקשר שבין מודל ה-CAPM  ומודל ה-APT

לפני שנסיים סקירה זו, ראוי להזכיר כי עצם הווייתם של מודלים מרובי פקטורים לאו דווקא סותר את מודל ה-CAPM. למעשה, במידה וקיימים פקטור יחיד בדמות תיק השוק ונכס חסר סיכון, ניתן להוכיח די בפשטות כי משוואת ה-APT הבאה מתקיימת:

\[E(R_i)=r_f+\beta_i\left[E(R_m)-r_f\right]\]

זוהי, כמובן, משוואת ה-SML המוכרת לנו ממודל ה-CAPM.

אבל גם כאשר ישנם פקטורים נוספים, ניתן להוכיח שתחת הנחות מסוימות מודל ה-CAPM עדיין מתקיים, ואנו נראה זאת כעת. נניח כעת כי קיימים שני פקטורים המשפיעים על תוחלת התשואה, באופן הבא:

\[R_i=a_i+b_{i1}I_1+b_{i2}I_2+e_i\]

האינדקסים עצמם אינם משנים, הם יכולים להיות מדדי מניות, שיעור האבטלה במשק וכו'. מה שחשוב הוא ההנחה כי אין מתאם בין השאריות של ניירות ערך שונים, כך ש:[10]

\[E(e_ie_j)=0\]

כמו-כן, אם ה-APT מתקיים, המשוואה הבאה אמורה להתקיים בשיווי משקל:

\[E(R_i)=r_f+b_{i1}\lambda_1+b_{i2}\lambda_2\]

כאשר  היא התשואה העודפת על פני נכס חסר סיכון של תיק בעל ביטא  וחוסר מתאם עם שאר הפקטורים. אם מודל ה-CAPM מתקיים, הוא מתקיים לא רק עבור מניות בודדות, אלא גם עבור תיקים. אם נניח כי ניתן לייצג את הפקטורים באמצעות תיקים, ניתן לומר כי תוחלת התשואה של כל  שווה בשיווי משקל לביטוי הבא, המסתמך על מודל ה-CAPM:

\[\lambda_1=\beta_{\lambda 1}\left[E(R_m)-r_f\right]\]

\[\lambda_2=\beta_{\lambda 2}\left[E(R_m)-r_f\right]\]

אם נציב את שני הביטויים הללו במשוואת ה-APT, נקבל כי:

\[E(R_i)=r_f+b_{i1}\beta_{\lambda 1}\left[E(R_m)-r_f\right]+b_{i2}\beta_{\lambda 2}\left[E(R_m)-r_f\right]\]

\[E(R_i)=r_f+\left(b_{i1}\beta_{\lambda 1}+b_{i2}\beta_{\lambda 2}\right)\left[E(R_m)-r_f\right]\]

אם נגדיר כי

\[\beta_i=b_{i1}\beta_{\lambda 1}+b_{i2}\beta_{\lambda 2}\]

נקבל כי תוחלת התשואה מנכס i מקיימת את משוואת ה-SML של מודל ה-CAPM:

\[E(R_i)=r_f+\beta_i\left[E(R_m)-r_f\right]\]

ההוכחה הזו מדגימה נקודה חשובה. מציאת פקטור נוסף, מלבד תיק השוק, המשפיע בצורה מובהקת על תשואת המניות, איננה מספיקה בכדי לדחות את מודל ה-CAPM. רק אם תוחלת התשואה של אותו פקטור, \(\lambda_j\), שונה באופן מובהק מ- \(\beta_{\lambda j}\left[E(R_m)-r_f\right]\), ניתן לומר כי התוצאה סותרת את מודל ה-CAPM. כלומר, ייתכן כי קיימים מספר פקטורים המסבירים יחדיו את השונות המשותפת שבין זוג מניות, ועדיין מודל ה-CAPM יתקיים.

סיכום

קשה לומר כי ה-CAPM בצורתו הקלאסית היה הצלחה אמפירית מפוארת. למעשה, גם הגרסה של Black (1972), שתמכה בעקום SML גבוה ושטוח יותר, הלכה ואיבדה מהרלוונטיות שלה אל מול מחקרים שחשפו עוד ועוד גורמים בעלי יכולת הסבר מובהקת לתוחלת התשואה; אם ה-CAPM לא עובד, יש לכך השלכות על שני תחומים מרכזיים במימון: האחד, הערכות שווי יהיו מוטות עבור חברות שמודל ה-CAPM איננו מתאים עבורן, בגלל שעלות ההון המשוקללת תהיה מוטה. שנית, בחינת ביצועיהם של מנהלי תיקים על סמך התשואה העודפת שהשיגו ביחס ל-SML גם היא תהיה מוטה.[11]

יחד עם זאת, קשה לקבוע בוודאות האם הבעיות האמפיריות של המודל מקורן בעובדה שהוא איננו נכון, בכך שעדיין לא גילינו כיצד ליישם אותו בצורה נכונה,[12] או באקראיות המהווה חלק בלתי נפרד מחיינו.[13]על כל פנים, המודל מהווה אבן דרך בכל הקשר להבנת הקשר שבין סיכון לתשואה, ובאין מודלים ששולטים עליו בצורה מוחלטת, הוא נחשב למודל הנפוץ ביותר לצורך קביעת עלות ההון של חברות, כאשר מגבלותיו היישומיות דורשות מאיתנו להפעיל היגיון בריא בעת השימוש בתוצאות המתקבלות ממנו.

[1] Black, Fischer. 1972. “Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing.” Journal of Business. 45:3, pp. 444–54.

[2] Merton, Robert C. 1973. “An Intertemporal Capital Asset Pricing Model.” Econometrica. 41:5, pp. 867–87.

[3] Ross, Stephen (1976). "The arbitrage theory of capital asset pricing". Journal of Economic Theory 13 (3): 341–360.

[4] Chen, Nai-Fu; Roll, Richard; Ross, Stephen (1986). "Economic Forces and the Stock Market". Journal of Business 59 (3): 383–403.

[5] Fama, Eugene F. and Kenneth R. French. 1993. “Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds.” Journal of Financial Economics. 33:1, pp. 3–56.

[6] באופן לא מפתיע, מודל זה מכונה "מודל שלושת הפקטורים" (Three Factor Model).

[7] Carhart, Mark M. 1997. “On Persistence in Mutual Fund Performance.” Journal of Finance. 52:1, pp. 57–82.

[8] Jegadeesh, Narasimhan and Sheridan Titman. 1993. “Returns to Buying Winners and Selling Losers: Implications for Stock Market Efficiency.” Journal of Finance. 48:1, pp. 65–91.

[10] שימו לב כי הנחת חוסר המתאם מתייחסת לשאריות ולא לתשואות עצמן.

[11] התשואה העודפת על פני התשואה החזויה על פי מודל ה-CAPM מכונה לעיתים "האלפא של ג'נסן", על שם Michael Jensen, שכתב על הנושא בשנת 1968: Jensen, Michael C. 1968. “The Performance of Mutual Funds in the Period 1945–1964.” Journal of Finance. 23:2, pp. 389–416.

[12] למשל, ניתן לטעון כי אלו לא הפקטורים הנוספים שהם בעלי יכולת הסבר לתוחלת התשואה, אלא זה אנחנו שכשלנו בבניית תיק השוק בעת יישום המודל. כלומר, שילוב של הפקטורים הנוספים בסך הכל מהווה "ייצוג" (Proxy) טוב יותר לתיק השוק האמיתי, שאנו לא יודעים מהו, ולכן התוצאות העדיפות.

[13] אם נמתח רווח בר סמך ברמת וודאות של 95%, נקבל כי קו ה-SML התיאורטי איננו שונה באופן מובהק מהקו בפועל. כלומר, ייתכן והמודל נכון, אך האקראיות היא זו שגורמת לאומדנים שלנו להיות שונים מהערכים שהתקבלו בפועל.

כמה מילים על מודל ה-CAPM, חלק א'

/2 תגובות/קטגוריה: /מאת:

אני מאוד אוהב ספרות מימונית. בין אם מדובר במאמר, ספר או פוסט אקראי של דמודרן ודומיו, כמעט תמיד אפשר למצוא בטקסט כלשהו עוד זווית מעניינת על נושאים שלכאורה כבר לא נשאר מה לכתוב עליהם. לאחרונה, יצא לי לחזור ולהתעסק בצדדים התיאורטיים יותר של מודל ה-CAPM, אלה שנידונים לרוב במסגרת קורס תורת ההשקעות של תואר שני, וקצת חרה לי שאין מקום אחד שקיימת בו סקירה טובה ומתומצתת (בעברית) של הספרות המקצועית שפורסמה בנושא החל משנות ה-60. לכן, לקחתי לי כמה שבועות וכתבתי את הסקירה הטובה ביותר שיכולתי על מודל ה-CAPM, הבחינות שנעשו לו ומודלים אלטרנטיביים שקמו לאחריו. ניסיתי שלא להיכנס למתמטיקה המסובכת, אבל צירפתי הפניות לכל המאמרים שמוזכרים כאן, והם לא מעט כפי שתיווכחו בקרוב.

מאז הוצג על-ידי William Sharpe, John Lintner, Jack Treynor & Jan Mossin (הפניה 1) באמצע שנות ה-60, היה מודל ה-CAPM (Capital Asset Pricing Model) למודל הנפוץ ביותר לתמחור נכסים ואף זיכה חלק ממפתחיו בפרס נובל בשנת 1990. המודל נחשב לבסיס בלימודי תורת ההשקעות בכל מוסד אקדמי בשל הפשטות היחסית בה הוא מספק תשובה לשאלה "כמה תשואה אקבל עבור רמת סיכון מסוימת שאני מוכן לקחת על עצמי?". יחד עם זאת, במרוצת השנים קמו לא מעט מחקרים אשר הטילו ספק ביכולתו לאמוד את אותה תשואה מצופה. סדקים ראשונים במודל החלו להיבקע בראשית שנות ה-70, כאשר המודל כשל כשנבחנו התשואות שחזה עבור נכסים מול התשואות שהנכסים ניבו בפועל; לאחר מכן, בשנות ה-80, החלו להתפרסם מחקרים רבים שעסקו בגורמים אחרים בעלי יכולת הסבר לתשואות מלבד תיק השוק. המוכרים שבין אותם גורמים היו רמת המינוף של הפירמה (Bhandari, 1988, הפניה 2), גודלה של הפירמה (Banz, 1981, הפניה 3) והיחס שבין שווי השוק של ההון העצמי של חברה לעומת ערכו בספרים (Stattman, 1980, הפניה 4). מטרתם של שני פוסטים אלו הינה לסקור את המחקרים המרכזיים שנעשו בנושא מאז שפורסם המודל ועד ששכחה ההתלהבות מהעיסוק בו בשנות ה-90 המאוחרות.

מבחנים אמפיריים למודל ה-CAPM, והבעייתיות שבהם

לפני שנדון בתובנות שעלו משורת המאמרים שבחנו את מודל ה-CAPM, ראוי שנסקור את הבעייתיות של המוקדמים שבהם, וכן את המתודולוגיה שבה הם השתמשו. ככלל, המתודולוגיה הקלאסית לבחינה של מודל ה-CAPM כללה שני שלבים. בשלב הראשון, הורצה רגרסיה, שכינויה First Pass Regression, ובה המשתנה המוסבר הינו תשואת המניה והמשתנה המסביר הוא תשואת תיק השוק. הרגרסיה היא מסוג Time Series, שכן וקטור התצפיות כולל את התשואות התקופתיות שהציג תיק השוק לאורך תקופת המדידה, וכן את התשואות התקופתיות שהניבו המניות שנכללו במדגם לאורך אותה התקופה. עבור כל מניה i, שיש בידינו T תשואות היסטוריות שלה ושל תיק השוק, הורצה הרגרסיה הבאה:[5]

\[r_{i,t}=a_i+b_ir_{m,t}+e_{i,t}\]

bi, השיפוע של אותה רגרסיה, הוא כמובן האומד לביטא ה"נכונה" של מניה i.

לסיכום, ובהנחה שהמדגם כולל N מניות, השלב הראשון במתודולוגיה בנוי למעשה מהרצה של N רגרסיות, כל רגרסיה עושה שימוש ב-T תצפיות, והתוצר המתקבל הוא N אומדנים לביטאות – אומד אחד עבור כל מניה שנכללה במדגם.

בשלב השני, הורצה רגרסיה מסוג Cross-Sectional, שכינויה Second Pass Regression, ובה המשתנה המוסבר הוא התשואה הממוצעת שהציגה המניה i על פני תקופת המדידה והמשתנה המסביר הוא הביטא שנאמדה בשלב הראשון – bi. כלומר, אנו רוצים לבחון כעת האם הביטא שחושבה בשלב הראשון יכולה להסביר את התשואה הממוצעת שהושגה במהלך אותה תקופה. מספר התצפיות ברגרסיה השנייה הוא N, כמספר המניות שנכללו במדגם.

\[\bar{r}_i=\gamma_0+\gamma_1b_i+\nu_i\]

משוואת השלב השני היא למעשה משוואת ה-SML שסקרנו במהלך הפרק, ולכן, אם מודל ה-CAPM מתקיים, הצפי הוא שהאומד לחותך יהיה שווה לתשואה הממוצעת של נכס חסר סיכון לאורך תקופת המדידה והאומד לשיפוע יהיה שווה לפרמיית הסיכון. בלינק הבא תוכלו למצוא קובץ אקסל המדגים את היישום של המתודולוגיה הקלאסית הזו לבחינת מודל ה-CAPM עבור 10 מניות אמריקאיות, כאשר תיק השוק הנבחר הוא מדד ה- S&P 500.

Miller & Scholes (1972) מספקים במאמרם סקירה מקיפה של הבעיות במתודולוגיה הקלאסית, המרכזית שבהן היא בעיית המדידה של הביטא.[7] הביטא הנאמדת בשלב הראשון היא למעשה אומדן של הביטא "האמיתית" של כל מניה; למרות שהאומדן הזה אמור להיות חסר הטיה, עדיין יכולה להיתכן טעות במדידה שלו, וכך, גם אם מודל ה-CAPM מתקיים ולכל מניה אכן קיימת ביטא "נכונה", תוצאות הרגרסיה השנייה יהיה מוטות – החותך, שאמור לייצג את הריבית חסרת הסיכון, יהיה מוטה כלפי מעלה, ואילו השיפוע, שאמור לייצג את פרמיית הסיכון, יהיה מוטה כלפי מטה.[8] ואכן, עד היום, ברובם המכריע של המבחנים הנעשים למודל ה-CAPM, תוצאות הרגרסיה בשלב השני מצביעות על חותך גבוה יותר ושיפוע נמוך יותר מזה המצופה.

הבעיה השנייה שנגרמת כתוצאה מטעות המדידה האפשרית מתקשרת למבחן שביצע Douglas (1968), בו הוא בחן האם יש לשאריות מרגרסיית השלב הראשון יכולת הסבר לתשואת הנכס, בנוסף לביטא שנאמדה בשלב הראשון; כלומר, הוא הוסיף לרגרסיית השלב השני משתנה מסביר נוסף – השאריות מהשלב הראשון.[9] Douglas מצא כי בניגוד לצפי, השאריות מסבירות חלק מהתשואה של השלב השני, והתוצאה הזו מובהקת ברמה של 99%. Miller & Scholes טוענים כי מאחר והביטא האמיתית מתואמת באופן חיובי עם השאריות, אם נכלול את השאריות ברגרסיית השלב השני נקבל כי יש לשאריות מתאם סטטיסטי עם התשואות, אבל רק בגלל שהן "נציגות" של הביטא האמיתית, שאנו לא יודעים מהי והיא איננה נכללת ברגרסיית השלב השני. במילים אחרות, אם היינו מצליחים לכלול את הביטא האמיתית בשלב השני, ולא אומדן שלה, המתאם הסטטיסטי של השאריות עם התשואות היה נעלם. ואכן, כאשר Black, Jensen & Scholes (1972) קיבצו את המניות במדגם שלהם לעשירונים, ובחנו כיצד מודל ה-CAPM מסביר את התשואה העודפת של כל עשירון, נמצא כי התוצאות אכן משביעות רצון, כנראה בגלל שטעות האמידה מהשלב הראשון מתבטלת כאשר מצרפים מספר מניות לקבוצה אחת.[10]

Fama & McBeth (1973) לקחו את השימוש בתיקים צעד אחד רחוק יותר. הם העריכו את ביטת השלב הראשון עבור 20 תיקים, ולאחר מכן הריצו את רגרסיית השלב השני עבור החודש העוקב לתקופת המדידה של רגרסיית השלב הראשון. הם חזרו על התהליך הזה לאורך 1935-1968, כאשר רגרסיית השלב השני שנאמדה הייתה הבאה:

\[\tilde{R}_{it}=\hat{\gamma}_{ot}+\hat{\gamma}_{1t}\beta_i-\hat{\gamma}_{2t}\beta_i^2+\hat{\gamma}_{3t}S_{ei}+\epsilon_{it}\]

האמידה של רגרסיית השלב השני עבור כל חודש מאפשרת לבחון לא רק את גודלם של הפרמטרים, אלא גם את התנהגותם על פני תקופת המדידה, מאחר ורגרסיית השלב השני הורצה עבור כל חודש בין ינואר 1935 ועד יוני 1968. על כל פנים, מתודולוגיית המחקר המרכזית הייתה לבדוק האם הערך הממוצע של כל פרמטר שונה באופן מובהק מאפס, כאשר התוצאות המצופות הינן:

  • ישנו מתאם חיובי בין סיכון ותשואה – \(E(\hat{\gamma}_{1t})>0\),
  • הקשר בין ביטא והתשואה הינו קשר ליניארי – \(E(\hat{\gamma}_{2t})=0\),
  • השאריות מהשלב הראשון אינן מסבירות את התשואה –  \(E(\hat{\gamma}_{3t})=0\).

נתחיל מההשערה האחרונה. Fama & McBeth מצאו כי לשאריות אין יכולת הסבר לתשואות, כנראה בגלל שטעות המדידה שלהם פחות מהותית מזו של Douglas (1968), עקב השימוש בביטאות של תיקים ולא של מניות בודדות. במילים אחרות, כשהביטא "הנכונה" נמדדת בצורה טובה יותר, השאריות מהרגרסיה הראשונה כבר אינן משחקות תפקיד בהסברת התשואות. תוצאה זו עקבית עם טענתם של Miller & Scholes.

שנית, הם מצאו כי גם לביטא בריבוע אין יכולת הסבר לתשואות, בהתאם למצופה, כלומר היחס בין ביטא ותשואה הוא יחס ליניארי. המסקנה השלישית שלהם היא שממוצע החותכים גדול באופן מובהק משיעור הריבית חסרת הסיכון ושהממוצע של גמא1 (הפרמטר הצמוד לביטא) גדול באופן מובהק מאפס, אך קטן מפרמיית הסיכון ההיסטורית, כלומר, רגרסיית השלב השני שלהם הניבה חותך גבוה ושיפוע נמוך מזה המצופה. כמו-כן, Fama & McBeth בדקו האם לשאריות מרגרסיית השלב השני של תקופה אחת יש יכולת הסבר לתשואה של תקופה עוקבת, ומצאו כי התשובה לכך שלילית, בהתאם להנחות מודל ה-CAPM.

המוני מחקרים שחזרו באופן כזה או אחר את המתודולוגיה של Fama & McBeth לצורך בחינת מודל ה-CAPM, ורובם הגיעו למסקנות דומות. Fama & French (2004) למשל, שחזרו את המתודולוגיה, עם רגרסיית שלב שני בצורתה הקלאסית (כלומר היא כללה רק את הביטא כמשתנה מסביר), עבור כל המניות שנסחרו בבורסה האמריקאית בין השנים 1928-2003.[11] התוצאות שקיבלו היו דומות לתוצאות שקיבלו מחקרים אחרים שנעשו בנושא, ועיקרן הוא SML גבוה ומתון יותר מזה המצופה, כפי שניתן לראות בתרשים הבא:

כך, למשל, התשואה המצופה מהתיק בעל הביטא הנמוכה ביותר היא 8.3% בעוד התשואה בפועל הייתה 11.1%, והתשואה המצופה מהתיק בעל הביטא הגבוהה ביותר היא 16.8% בעוד התשואה בפועל הייתה 13.7%.

מאמרם של Fama & McBeth מהווה אבן דרך בכל הקשור לבחינה אמפירית של מודל ה-CAPM וכמעט כל מאמר שנכתב לאחריו שאב ממנו השראה. לכן, למרות שהספרות המקצועית בנושא ענפה למדי, אנו נסיים כעת את סקירת המבחנים האמפיריים שנעשו ל-CAPM ונפנה לביקורת שנכתבה על אותם מבחנים.

במאמרו פורץ הדרך משנת 1977, כתב Richard Roll את מה שזכה מאז לכינוי Roll's Critique.[12] במרכז המאמר, Roll מביא שתי טענות עיקריות, שהשילוב שלהן שומט למעשה את השטיח שמתחת לרגלי כל המבחנים האמפיריים שנעשו וייעשו למודל ה-CAPM. ראשית, Roll מוכיח כי כאשר תיק השוק בו משתמשים ברגרסיית השלב הראשון הינו תיק יעיל במונחי תוחלת-שונות (כלומר הוא נמצא על המעטפת), רגרסיית השלב השני לעולם תניב תוצאות שעומדות בקנה אחד עם מודל ה-CAPM.[13] לכן, בחינה של מודל ה-CAPM שקולה לבחינה של מידת היעילות של תיק השוק הנבחר. הטענה השנייה של Roll הינה שכל בחינה שכזו היא פחות-או-יותר חסרת כל ערך, מאחר ואין בידינו מידע אודות תיק השוק האמיתי. למשל, מרבית המחקרים עושים שימוש במדד ה-S&P 500 כ"מייצג" (Proxy) של תיק השוק, אבל ברור לכל שהוא איננו כולל את כל הנכסים בעולם, כפי שנדרש מתיק השוק על פי מודל ה-CAPM. לכן, Roll טוען כי כל בחינה שתיעשה למודל ה-CAPM הינה בחינה למידת היעילות של ה-Proxy לתיק השוק, והתוצאות שיתקבלו אינן מעידות על מידת היעילות של תיק השוק האמיתי (ואמיתות ה-CAPM הנובעת ממנה). כלומר, ייתכן וה-Proxy לתיק השוק יימצא יעיל, בעוד שתיק השוק האמיתי איננו יעיל, וייתכן שה-Proxy לתיק השוק יימצא לא יעיל, בעוד שתיק השוק האמיתי דווקא כן. פרופ' אבנר קלעי מאוניברסיטת תל-אביב נוהג לסכם בשיעוריו את נושא זה עם האמרה כי "מאז ועד היום, אנו שרויים בעלטה"; אנו נאמץ השקפה זו, ונפנה כעת אל מודלים אלטרנטיביים שפורסמו בנושא זה.[14]

כעת, לאחר שדיברנו מעט על המבחנים האמפיריים שבוצעו למודל ה-CAPM, ועל הביקורות שנכתבו עליהם, בפוסט הבא אסקור כמה מודלים אלטרנטיביים שפותחו, וחשוב מכך – התובנות העולות מהם.

[1] Lintner, John. 1965. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics. 47:1, pp. 13–37.

Mossin, Jan. "Equilibrium in a Capital Asset Market, "Econometrica,34 (Oct. 1966) pp. 768-784.

Sharpe, William F. 1964. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance. 19:3, pp. 425–42.

[2] Bhandari, Laxmi Chand. 1988. “Debt/Equity Ratio and Expected Common Stock Returns: Empirical Evidence.” Journal of Finance. 43:2, pp. 507–28.

[3] Banz, Rolf W. 1981. “The Relationship Between Return and Market Value of Common Stocks.” Journal of Financial Economics. 9:1, pp. 3–18.

[4] Stattman, Dennis. 1980. “Book Values and Stock Returns.” The Chicago MBA: A Journal of Selected Papers. 4, pp. 25–45.

[5] בהמשך נראה כי היו מחקרים בהם המשתנה המסביר היה שונה מתשואת תיק השוק, אך הרעיון הכללי נשאר זהה.

[7] Miller, Merton and Myron Scholes. 1972. “Rates of Return in Relation to Risk: A Reexamination of Some Recent Findings,” in Studies in the Theory of Capital Markets. Michael C. Jensen, ed. New York: Praeger, pp. 47–78.

[8] הוכחה ידידותית לכך ניתן למצוא בספרם של Elton, Gruber, Brown & Goetzmann.

[9]  Douglas, George W. 1968. Risk in the Equity Markets: An Empirical Appraisal of Market Efficiency. Ann Arbor, Michigan: University Microfilms, Inc.

[10] Black, Fischer, Michael C. Jensen and Myron Scholes. 1972. “The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests,” in Studies in the Theory of Capital Markets. Michael C. Jensen, ed. New York: Praeger, pp. 79-121.

נציין כי המתודולוגיה של Black, Jensen & Scholes הייתה מעט יותר מתקדמת מהמתודולוגיה הקלאסית שסקרנו קודם לכן.

[11] Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. 2004. "The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence." Journal of Economic Perspectives, 18(3): 25–46.

[12] Roll, Richard (March 1977), "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory", Journal of Financial Economics 4 (2): 129–176,

[13] תוכלו למצוא הדגמה לכך בקובץ האקסל הבא.

[14] יש לציין כי לא כולם סבורים שמסקנותיו של Roll בעלות השפעה חזקה כל כך על הניסיונות לבחון וליישן את מודל ה-CAPM. ביניהם, ניתן למנות את Eugene Fama ו-Kenneth French, דווקא מגדולי האופוזיציונרים למודל ה-CAPM.

תמחור אופציות ריאליות, חלק ח' ואחרון: סיכום ומספר המלצות פרקטיות

/אין תגובות/קטגוריה: , /מאת:

בשבעת הפוסטים האחרונים סקרנו לאורך ולרוחב את שיטת תמחור פרויקטים או חברות באמצעות אופציות ריאליות. לפני שנסכם, נתחיל עם מספר המלצות פרקטיות. מודל ה-ROV נחשב לעדיף מבחינה תיאורטית על פני מודל ה-DTA למטרות תמחור האופציות מכיוון שהוא מתמודד בצורה טובה יותר עם הסיכון הגלום בפרויקטים מורכבים כמו אלה שסקרנו בפרק זה. בפרויקטים כאלה, בהם תזרים המזומנים העתידי תלוי בהחלטות שנקבל על סמך מידע שיתגלה לנו בעתיד, לא ניתן להוון באופן פשוט את תזרים המזומנים באמצעות עלות ההון המשוקללת. המקרה היחידי בו תתקיים התכנסות מלאה בין תוצאות מודל ה-ROV ומודל ה -DTA הוא כאשר הסיכון בפרויקט ניתן לפיזור מלא (כלומר כאשר הסיכון הוא ספציפי לחלוטין). במצב שכזה, כיוון שכאשר הביטא שווה לאפס עלות ההון המשוקללת שווה לשיעור התשואה על נכס חסר סיכון והתוצאות שמתקבלות תחת שתי השיטות זהות.
יחד עם זאת, עליונותו התיאורטית של מודל ה-ROV לא תמיד מתממשת גם בפרקטיקה. שיטת ה-ROV תלויה רבות במחיר נכס הבסיס וסטיית התקן של נכס הבסיס; כאשר ניתן לדלות את שני הפרמטרים הללו משווקים פעילים המלאכה נעשית פשוטה יותר, ופרויקטים בעלי מתאם גבוה עם מחירי הסחורות או האנרגיה הם דוגמה למצב שכזה. כאשר לא ניתן להעריך בצורה איכותית את מחיר נכס הבסיס ו/או את סטיית התקן של נכס הבסיס נעדיף להשתמש בשיטת ה-DTA בשל השקיפות שהיא מספקת לנו בעת קביעת שווי הגמישות. (החלק הקשה יהיה כמובן אמידת ההסתברויות. לשם כך, ניתן להסתמך על מידע היסטורי או מאמרים אקדמיים אמפיריים שעוסקים בענף שאותו אנו מעריכים). אדרבה, בדוגמה האחרונה גילינו כי כאשר הסיכון השיטתי איננו משפיע על ההחלטה שתילקח, אין צורך לקחת אותו בחשבון כאשר אנו מעריכים את שווי הפרויקט. במילים אחרות, העליונות התיאורטית של שיטת ה-ROV נעלמת כאשר הנתונים הדרושים ליישומה אינם ניתנים לאמידה מדויקת, או כאשר הסיכון השיטתי איננו מהותי מספיק. לכן, במרבית המקרים נרצה להתרכז בסוג אחד של סיכון, וההחלטה שנקבל תשפיע על המודל שבו נבחר. קביעת סוג הסיכון העיקרי הגלום בפרויקט איננה משימה פשוטה והיא תלויה רבות בשיקול דעתו של מעריך השווי. למשל, ההצלחה של רישיון קידוח נפט תלויה בגודל המאגר שיתגלה (סיכון ספציפי), אך גם במחירי הנפט שישררו בתום הפיתוח (סיכון שיטתי); כיצד אפוא נבחר לנהוג במצב שכזה? תחת ההנחה שאם גודל המאגר יהיה מספק המחיר העתידי של הנפט יקבל חשיבות משנית, כך שמרבית הסיכון הגלום בפרויקט הוא כזה שניתן לפיזור. במקרים מסוג זה, אנו נעדיף את השימוש בשיטת ה-DTA מאחר והיא מספקת למקבלי ההחלטות תובנות בעלות ערך משמעותי, ללא אובדן רב של דיוק בהערכת שוויו של הפרויקט. התרשים הבא מסכם את המלצותינו בנושא זה:

וכעת, לסיכום.

ישנם פרויקטים ששיטת ה-DCF הסטנדרטית איננה כשירה בכדי לטפל במורכבות המובנית שלהם. פרויקטים בהם מידע חדש צפוי להתקבל במהלך חייהם ולהשפיע על עתידם אינם יכולים להיות מוערכים בשיטת ה-DCF מאחר והיא דורשת את הימצאותו של כל המידע הדרוש כאן ועכשיו. למזלנו, התפתחויות בשוויו של פרויקט והחלטות שמתקבלות במהלכו עונות במדויק על מאפייניהן של אופציות רכש ומכר, כך שניתן להיעזר בידע שנצבר בתחום זה ולהשתית אותו על פרויקטים מורכבים מהסוג שמנינו. זה כמובן לא אומר שעלינו לזנוח לגמרי את שיטת ה-DCF – ראשית, שיטת ה-DCF עובדת נהדר עבור פרויקטים שהם "פרות מזומנים" במהותם, כלומר כאשר בהם מחולל השווי העיקרי מצוי בתזרים המזומנים שיניבו ולא באופציה ריאלית שגלומה בהם. שנית, נקודת המוצא בניתוח אופציה ריאלית היא שווי נכס הבסיס, אותו אנו לרוב נעריך באמצעות שיטת ה-DCF.

הבעיות ביישומה של טכניקת האופציות הריאליות אינן טמונות בבסיסה התיאורטי, אלא ביישומה בפרקטיקה. ראשית, ההתפתחות בשווים של נכס הבסיס, תוספת המימוש וגורמים אחרים לא תמיד תהיה ברורה מאליה – המציאות היא דינמית ולא ניתן לתפוס את כל אי-הוודאות שבה באמצעות מספר פרמטרים ומודל, אלגנטי ככל שיהיה. שנית, המתודולוגיה שסקרנו עד כה התעלמה באלגנטיות משאלה חשובה מאין כמוה: מה קורה כאשר המתחרים בענף מחזיקים גם הם באופציות ריאליות? בענפים בהם קיימים שחקנים רבים ולא קיים שחקן אחד שיכול להשפיע באופן מהותי על עקומות ההיצע והביקוש, השיטות שסקרנו בפרק עדיין יתפסו. בענפים שלא, צריך לקחת בחשבון את האינטראקציה שקיימת בין האופציות של כל שחקן, וכאן הניתוח כבר זולג למחוזותיה של תורת המשחקים.

לא הכל שחור כמובן. ניקח למשל חברה ששוקלת ניסיון חדירה אגרסיבי לערב הסעודית, הכולל הקמת מערכי הפצה, הרחבת קווי הייצור וכו' – מהלך בעל NPV שלילי בשל גודלה הקטן של המדינה. ניסיון החדירה לבדו הוא חסר כל היגיון כלכלי, אבל בהנחה שערב הסעודית מהווה ברומטר לשאר העולם הערבי, הפרויקט טומן בחובו אופציית הרחבה בעלת ערך עצום. כלומר, עצם המודעות לקיומה של הגמישות תורם לנו רבות גם אם אנחנו לא יודעים להעריך בצורה מדויקת את שוויה. פרויקטים מפסידים (אך גמישים) יכולים לטמון בחובם הזדמנויות מעניינות בהמשך הדרך וניתוח מאפייני האופציה הגלומה בהם יכול לספק להנהלת החברה תובנות חשובות מאין כמוהן, בדיוק התובנות המבדילות בין מנהל בינוני למנהל גדול.

תמחור אופציות ריאליות, חלק ז': שילוב של שתי השיטות (ROV & DTA)

/אין תגובות/קטגוריה: , /מאת:

עד כה סקרנו מצבים בהם הסיכון הגלום בפרויקט הוא או שיטתי במלואו או ספציפי במלואו. כעת, נרצה להדגים את אופן חישוב שוויו של פרויקט שהגמישות בו מושפעת משני סוגים של סיכון יחדיו, שיטתי וגם ספציפי. מהדוגמאות הקודמות למדנו כי בכל צומת החלטה עומדים לנגד עיננו שני סוגים של תרחישים ובהתאם לתוצאה שתתקבל בהם עלינו להחליט האם להמשיך בפרויקט או לסגת ממנו. בדוגמה שעסקה ב-ROV היה עלינו להחליט האם לפתח את שדה הגז בהינתן עלייה או ירידה במחיר הגז, ובדוגמה שעסקה ב-DTA היה עלינו להחליט אם להמשיך בהתאם לתוצאות קידוח האקספלורציה. כיצד ננהג אפוא כאשר הסיכון בנוגע למחיר הגז חי לצד הסיכון בנוגע לתוצאות קידוח האקספלורציה? עץ התרחישים שנצייר יצטרך לגלם ארבעה תרחישים אפשריים:

  • הצלחה בקידוח האקספלורציה לצד עלייה במחיר הגז;
  • הצלחה בקידוח האקספלורציה לצד ירידה במחיר הגז;
  • כישלון בקידוח האקספלורציה לצד עלייה במחיר הגז;
  • כישלון בקידוח האקספלורציה לצד ירידה במחיר הגז.

בדוגמה הבאה נדגים כיצד להעריך את שוויו של הפרויקט במקרה שכזה.

בהמשך לדוגמאות האחרונות, גם בדוגמה זו נרצה לחשב את שוויים של שדות הגז 'מירה' ו'שרה', רק שהפעם הסיכון הטמון בפרויקט ינבע משני מקורות סיכון: התלות במחיר הגז והתלות בגודל המאגר שיתגלה. בהמשך לנתוני הדוגמאות הקודמות, נניח כי:

  • הערך הנוכחי של התקבולים משדה הגז הינו 7,205 מיליוני דולרים. מאחר ושוויו של נכס הבסיס צריך להיות נכון לנקודת האפס, שוויו של שדה הגז הינו: \(\frac{7,205}{1.08}=6,671\).
  • סטיית התקן השנתית של מחיר הגז הינה 50%.
  • תוצאות קידוח האקספלורציה צפויות להתקבל בעוד כשנה (T=1), ולכן גודלה של התנועה מעלה הינו:

\[u=e^{\sigma\sqrt{T}}=e^{0.5\times \sqrt{1}}=1.649\]

  • בהתאמה, גודלה של התנועה מטה יהיה:

\[d=e^{-\sigma\sqrt{T}}=\frac{1}{u}=\frac{1}{1.649}=0.607\]

  • כאמור, צומת ההחלטה נמצא בסוף השנה הראשונה; אז, יהיה על החברה להחליט האם היא משקיעה בפיתוח השדה, תוך השקעה של מיליארד דולרים, או זונחת את הפרויקט.

כעת, נבנה עץ תרחישים שצריך לגלם את ארבעת התרחישים האפשריים בסוף השנה:

שווי הפרויקט בתרחיש של עלייה במחיר הגז חושב באופן הבא: 6,671×1.649=10,999; ושווי הפרויקט בתרחיש של ירידה במחיר הגז חושב באופן הבא: 6,671×0.607=4,046;
הערה חשובה לפני שנמשיך: למרות שהעץ כולל ארבעה תרחישים סופיים שונים אין זה אומר שיהיה על החברה לקבל שתי החלטות במהלכו; החברה תצטרך לקבל בעוד כשנה החלטה אחת בלבד והיא האם להמשיך בפיתוח המאגר או לסגת ממנו. העובדה כי קיימים שני סוגי סיכון מוסיפה ממד נוסף של אי-וודאות ואין ברירה אלא לצייר אותו באופן שבו ציירנו. אם עץ התרחישים היה יכול להיות תלת-ממדי, היינו מציירים את הפיצול הנובע מסיכון שיטתי (זה שבא לאחר ההצלחה או כישלון) "לעומק הדף" ולא בהמשך לפיצול הנובע מהסיכון הספציפי.

כעת, ניגש לבניית עץ ההחלטות וחישוב שווי שדה הגז. בכדי לבנות את עץ ההחלטות ולחשב את שוויו של הפרויקט תחת האפשרות להפסיק את הפרויקט לאחר שנה, עלינו לחשב את שווי הפרויקט שהחברה תראה לנגד עיניה תחת תרחיש של הצלחה ותחת תרחיש של כישלון. לשם כך, נפעל בשני שלבים:

 

שלב ראשון בבניית עץ ההחלטות: חישוב שוויו של השדה תחת כל תרחיש

ראשית, נחליט מהו שוויו של הפרויקט בכל נקודה "סופית", בהינתן ההשקעה הנדרשת והאופציה שיש ברשות החברה לסגת מהפרויקט. למשל, במקרה של הצלחה בקידוח האקספלורציה וגם עלייה במחיר הגז, שווי הפרויקט במונחי ערך נוכחי יהיה:

\[\text{PV(Mira & Sarah)}_\text{Success & Price Rise}=\text{Max(10,999-1,000,0)=9,999}\]

 

ולכן, שווי הפרויקט בתרחיש של הצלחה בקידוח האקספלורציה הינו:

\[\text{PV(Mira & Sarah)}_\text{Success & Price Decline}=\text{Max(4,046-1,000,0)=3,046}\]

 

במקרה של כישלון בקידוח האקספלורציה שווי שדה הגז הוא אפסי, ולכן שוויו של שדה הגז בכל מקרה יהיה אפס:

\[\text{PV(Mira & Sarah)}_\text{Failure}=\text{Max(0-1,000,0)=0}\]

 

עץ ההחלטות ייראה כעת כך:

 

שלב שני בבניית עץ ההחלטות: קיפול העץ

בהתאם למתודולוגיה שלמדנו קודם לכן, וכדי להקל על חישוב שוויו של הפרויקט, ניתן לקפל את ההתפצלות שנבעה מהסיכון השיטתי. לשם כך, נחשב את ההסתברות המותאמת לסיכון, שבמקרה שלנו, תוך הנחה ששיעור הריבית חסרת הסיכון הינו 4%, שווה ל:

\[p=\frac{R-d}{u-d}=\frac{1.04-0.607}{1.649-0.607}=0.416\]

ולכן, שווי הפרויקט בתרחיש של הצלחה בקידוח האקספלורציה הינו:

\[\frac{p\times PV_{up}+(1-p)\times PV_{down}}{1+r_f}=\frac{0.416\times 9,999+0.584\times 3,046}{1.04}=5,710\]

 

שווי הפרויקט בתרחיש של כישלון הוא כמובן אפס, והצורה הסופית של עץ ההחלטות מעט נוחה יותר לעיכול:


שוויו של הפרויקט יהיה לכן 471 מיליוני דולרים:

\[\text{NPV}_\text{Mira & Sarah}=-100+0.1\times 5,710+0.9\times 0=471\]

התוצאה שקיבלנו מעניינת במיוחד לאור העובדה שהיא שווה בדיוק לתוצאה שהתקבלה עבור שדה הגז כאשר לא לקחנו בחשבון את הסיכון שקשור למחיר הגז. אדרבה, ניתוח רגישות של שווי הפרויקט בהינתן טווח ערכים של סטיית התקן של מחיר הגז וההסתברות למציאת גז מחזק עוד יותר את הממצא שקיבלנו:

כפי שניתן לראות, בהינתן הסתברות מסוימת למציאת גז, סטיית התקן של מחיר הגז כלל איננה משפיעה על שוויו של הפרויקט. כלומר, וזוהי תובנה חשובה מאוד, כאשר הסיכון השיטתי איננו מהותי מספיק בשביל להשפיע על ההחלטה שתילקח, אין צורך לקחת אותו בחשבון בעת חישוב שווי הפרויקט. כמובן שניתן לדעת זאת רק בדיעבד, מאחר ולא תמיד הסיכון השיטתי יהיה חסר השפעה. בדוגמה שלנו, ההחלטה האם לפתח את המאגר או לא תלויה אך ורק בתוצאות קידוח האקספלורציה, מה שעולה בקנה אחד עם האינטואיציה שלנו – כאשר המאגר שנמצא גדול מספיק, סביר להניח ששווי הפרויקט גדול מספיק בשביל לכסות את ההשקעה הראשונית גם כאשר קיימת אי-וודאות גבוהה בנוגע למחיר התוצרת שתופק.

זוהי הדוגמה המספרית האחרונה שנסקור. בפוסט הבא, נסכם את התובנות שהפקנו מהתהליך שעברנו, וניתן מספר טיפים לשימוש בשיטת האופציות הריאליות בפרקטיקה.

תמחור אופציות ריאליות, חלק ו': דוגמה מספרית נוספת (DTA)

/אין תגובות/קטגוריה: , /מאת:

בפוסט הקודם סקרנו כיצד יש לחשב את שוויו של פרויקט כאשר הסיכון הטמון בו הוא שיטתי במלואו, כאשר באותה דוגמה היה זה מחיר הגז שמופשע מתנודות השוק. כאשר הסיכון הוא שיטתי במלואו, אבל נכס הבסיס נע בצורה סטוכסטית, הערכת שווי הפרויקטים שואבת את המתודולוגיה שלה מזו של בלאק ושולס, כפי שראינו. כעת, נראה לסקור כיצד יש להעריך את שוויו של פרויקט כאשר הסיכון הטמון בו הוא ספציפי לחלוטין, כלומר כזה שאינו קשור כלל לשוק או לתנודות בו.

במקרים בהם הסיכון הספציפי הוא הסיכון הדומיננטי או כאשר נכס הבסיס איננו סחיר, שיטת ה-DTA תהיה השיטה האפקטיבית יותר להערכת שווי הגמישות שגלומה בפרויקט. הגמישות נובעת מיכולת ההנהלה לשלוט בסיכונים הספציפיים או בתוצאות הקשורות אליהם (שכן הם לא יכולים לשלוט בסיכוני השוק) לכן לרוב הערכת ערך הגמישות תנבע מגורם סיכון זה. יישום השיטה מורכב מארבעת השלבים הבאים:

  1. הערכת שווי הפרויקט מבלי להתחשב בגמישות האפשרית,
  2. בניית עץ התרחישים – עבור כל תרחיש, יש לחשב את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים המתאים לו. הערך הנוכחי של התזרים יהיה נכון לזמן אפס, כלומר היום. שיעור ההיוון של ההכנסות הצפויות יהיה עלות ההון המשוקללת של הפרויקט ואילו ההשקעה הראשונית תהוון באמצעות שיעור הריבית על נכס חסר סיכון מכיוון שהיא וודאית.
  3. הכללה  בעץ שבניתם את ההחלטה שצפויה להתקבל עבור כל תרחיש, ואת הערך התזרימי נטו הצפוי בעקבות ההחלטה. זהו עץ ההחלטות.
  4. פתירה מהסוף להתחלה, חשבו את שוויו של הפרויקט כאשר הנהלת החברה יכולה לפעול בהתאם למידע חדש ורלוונטי שמתקבל. ההפרש בין שווי זה לבין השווי בחושב בשלב הראשון הוא שווי הגמישות.
 
חישוב שווי הגמישות בקידוחי 'מירה' ו'שרה'

לפני שנצלול למעמקי האופציות הריאליות, נסקור בקצרה את "דרך הייסורים" שעובר כל שדה גז בטרם נהנה הלקוח הסופי מתנובתו.

שלב הבדיקות הראשוניות: ראשית,  מוגדר שטח גדול המכונה היתר, שבו מתבצעים מבחנים ססמיים ראשונים הקובעים אם קיימים מבנים תת-קרקעיים אשר עשויים להכיל גז או נפט. אם התוצאות מורות על כך שקיימות אינדיקציות חיוביות להימצאות מבנים כאלה במקום, מחלק הממונה את שטח ההיתר לרישיונות קטנים יותר, והשותפות שביצעה את המבחנים בהיתר מקבלת זכות ראשונים עליהם.

שלב הסקר התלת-ממדי: לאחר הבדיקות הראשוניות, נערכים בשטחי הרישיונות סקרים ססמיים תלת-ממדיים. הסקרים הללו נמשכים כשלושה חודשים ועיבוד ופענוח תוצאותיהם אורכים כחצי שנה נוספת. בסיום העיבוד מקבלים המשקיעים הודעה רשמית באשר ההסתברות להימצאות גז טבעי או נפט במקום, ומהי הכמות המוערכת במאגר. בשלב זה מקבלים המשקיעים שלושה אומדנים בנוגע לכמות המשאב החזויה: הכמות הקטנה ביותר שעשויה להיות במאגר (P1), הכמות שהסבירות הכי גבוהה שתימצא (P2) והכמות הגדולה ביותר שעשויה להימצא במאגר (P3).

שלב קידוח האקספלורציה: אם תוצאות הסקר משביעות רצון, מבצעות השותפות קידוח אקספלורציה (היתכנות), הבודק באופן מדויק יותר אם קיימים משאבים במבנה. לקידוח שני חלקים:

  1. מבחני לוגים חשמליים, הקובעים אם יש במקום נפט או גז.
  2. מבני הפקה הבודקים כמה נפט או גז ניתן להפיק ביום, באיזה לחץ הם יכולים לצאת החוצה ומהי איכותם.

את קידוח האקספלורציה הימי מבצעות אסדות קידוח ועלות הקידוח נאמדת בכ-100 מיליון דולרים. בתום הקידוח שוב מקבלים המשקיעים שלושה אומדנים בנוגע לכמות המשאב שבמאגר:

  1. האומדן הנמוך ביותר, הנקרא C1 (ישנה הסתברות של 90% להימצאות כמות גדולה מזו);
  2. האומדן הטוב ביותר, הנקרא C2 (ישנה הסתברות של 50% להימצאות כמות גדולה מזו);
  3. האומדן הגבוה ביותר, הנקרא C3 (ישנה הסתברות של 10% להימצאות כמות גדולה מזו).

הכדאיות הכלכלית של המאגר נעוצה כמובן בתוצאות קידוח האקספלורציה. לאחר שהוא מסתיים, צריכה החברה להחליט האם להמשיך בפיתוח המאגר או לא.

שלב התפעול השוטף: אם הוחלט שקיימת כדאיות כלכלית בפיתוח המאגר, מתחילות השותפות בבניית תשתית להפקה מסחרית. במקרה של גז, הקיים בישראל, מניחות השותפות צינורות מתכת על קרקעית הים, המובילים את הגז אל תחנת קליטה על החוף. מתחנת הקליטה ניתן למכור את הגז בצורתו הטבעית באמצעות צינורות המגיעים ישירות אל הלקוחות (בעיקר מפעלים תעשייתיים ותחנות כוח).
כעת נרצה לחשב את שווי הגמישות בקידוחי 'מירה' ו'שרה' רגע לפני ההשקעה בקידוח האקספלורציה, בהינתן מחיר גז ועלות הפקה ידועים ואי-וודאות באשר לכמות הגז שתימצא, כלומר, הסיכון הטמון בפרויקט הוא כולו ספציפי – אין קשר בין כמות הגז שתימצא וביצועי השוק באותו הזמן. לכן, נעריך את שווי הגמישות בו באמצעות שיטת עץ קבלת ההחלטות (DTA).

 שלב ראשון: חישוב הערך הנוכחי הנקי (NPV) של הפרויקט ללא גמישות

ראשית, עלינו לקבוע את ההסתברות למציאת גז בכל אחד משלבי הבדיקה. נאמר כי ישנה הסתברות של 10% לכך שקידוח האקספלורציה יניב תחזית אופטימית מאוד (מאגר בגודל 6 TCF) ו-90% לכך שהתוצאה תהיה שהתוצאות יהיו מאכזבות (מאגר ריק); תוצאות הקידוח צפויות להתקבל בעוד שנה מהיום ואם יוחלט על פיתוח המאגר, התקבולים צפויים להתקבל שנה לאחר מכן (כלומר שנתיים מהיום); עלות קידוח האקספלורציה הינה 100 מיליון דולרים; ההשקעה הראשונית הנדרשת לצורך הפקת הגז הינה מיליארד דולרים; מחירו של 1 TCF הוא 4 מיליארד דולרים, כאשר שיעור הרווחיות התפעולי עומד על 80%; קצב ההפקה הינו 0.2 TCF בשנה; שיעור ההיוון של הפרויקט הוא 8%; שיעור הריבית אותו נושא נכס חסר סיכון הוא 4%.
נחשב את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים בתרחיש האופטימי. אורך החיים של הפרויקט הינו 30 שנים (\(\frac{6}{0.2}=30\)). התקבול השנתי הינו 0.64 מיליארד דולרים \(4 \times 0.2\times 0.8=0.64\). הערך הנוכחי הנקי של התקבולים נכון למועד קבלת תוצאות קידוח האקספלורציה (שנה מהיום), במיליארדי דולרים, הוא:

\[\text{PV}_\text{Optimistic}=\frac{0.64}{0.08}\times \left(1-\frac{1}{1.08^{30}}\right)=7.205\]

  שווי המאגר תחת התרחיש המאכזב הוא כמובן אפס. הערך הנוכחי הנקי הסטנדרטי של הפרויקט הינו (במיליוני דולרים):

\[\text{Standard NPV}=-100-\frac{1,000}{1.04}+0.1\times\frac{7,205}{1.08}+0.9\times 0=-394\]

 

או ליתר דיוק: הפסד של 394 מיליון דולרים.

 

שלב שני: בניית עץ התרחישים

עץ התרחישים ייראה בצורה הבאה: 

 

 

 שלב שלישי: בניית עץ ההחלטות

מובן שאם קידוח האקספלורציה יניב תחזיות אופטימיות החברה תחליט להשקיע בפרויקט, ואם לא – לנטוש אותו. עץ ההחלטות ייראה אפוא כך:

 

 שלב רביעי: חישוב שווי הגמישות

על-מנת לחשב את שווי הגמישות, נחשב את שווי הפרויקט התלוי, כלומר שווי הפרויקט כאשר באפשרותנו לדחות את הפרויקט על הסף אם קידוח האקספלורציה יניב תוצאות מאכזבות:

\[\text{Contingent NPV}_\text{Mira&Sarah}=-100+0.1\times\left(-\frac{1,000}{1.04}+\frac{7,205}{1.08}\right)+0.9\times 0=-471\]

 האפשרות לפעול לאחר קבלת המידע הרלוונטי מעלה את שווי הפרויקט ל-471 מיליון דולרים, 865 מיליון דולרים יותר משווי הפרויקט ללא אותה אפשרות – זהו גם שווי הגמישות הטמונה בפרויקט:

\[\text{Flexibility}_\text{Mira&Sarah}=471-(-394)=865\]

טבלת הרגישות הבאה בוחנת את שוויו של הפרויקט תחת הסתברויות שונות לתרחיש חיובי. שימו לב כי משקיעים יכולים להשתמש במתודולוגיה הנ"ל בכדי לגלות את ההסתברות המגולמת במחירי השוק לתרחיש חיובי, ולהחליט האם קיימת הזדמנות השקעה בפרויקט מסוים.

 

שלא במפתיע, שוויו של הפרויקט עולה פלאים ככל שההסתברות למציאת גז עולה. ומה לגבי שווי הגמישות? הבה נבחן כיצד השינויים בהסתברות למציאת כמות גז גבוהה משפיעים על שווי הגמישות:

גם כאן התוצאות אינן מפתיעות; ככל שישנה הסתברות גבוהה יותר למציאת כמות גדולה של גז, האפשרות לעצור את הפרויקט שווה פחות מאחר ולא סביר שננצל אותה.

בפוסט הבא נסקור את המתודולוגיה המתאימה למקרים שבהם הסיכון בפרויקט הוא שיטתי וגם ספציפי, כפי שקורה לא מעט במציאות.

 

גרסה מעודכנת לפרק 1

/6 תגובות/קטגוריה: /מאת:

בשבועות האחרונים עמלנו רבות על עדכונו של פרק 1, וכעת, אנו שמחים לבשר על השקתו המחודשת.

שימו לב לנספח שבסוף הפרק, העוסק בדיון תיאורטי אודות מודל ה-CAPM. למיטב ידיעתנו, לא קיימת סקירה ספרותית של הנושא, בעברית, הנכנסת לעומק הדברים כפי שאנחנו נכנסנו. בשבועות הקרובים נעלה את הסקירה הזו בסדרת פוסטים מיוחדת, בה נפתח דיון בנושא אם תרצו בכך.

בהצלחה בלמידה,

ערן, ניר וטל